Cercles d'Apollonius d'un triangle:

  1. Le cercle de diamètre A'A" (resp. B'B", C'C") est le lieu des points M du plan qui vérifient MB/MC=AB/AC (resp. MC/MA=BC/BA, MA/MB=CA/CB). En notant AB=c, BC=a, CA=b les longueurs des côtés du triangle, cette relation s'écrit: bMB=cMC (resp. cMC=aMA, aMA=bMB). Un point d'intersection S de deux de ces cercles vérifie: aSA=bSB=cSC, et il appartient donc au troisième (il n'est pas difficile de voir que deux au moins de ces cercles se coupent, en trouvant, par exemple, un point intérieur à un des cercles extérieur à l'autre, et un point intérieur aux deux: discutez suivant les valeurs de a,b,c).
  2. Le cercle de diamètre A'A" est orthogonal à tout cercle passant par B et C (voir lieu des points M tels que MA/MB=constante), en particulier au cercle circonscrit au triangle ABC. Il en va de même pour les deux autres.
  3. La puissance de O (centre du cercle circonscrit) par rapport à ces trois cercles est donc égal à R2, où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Le point O se trouve donc sur l'axe radical de deux quelconques de ces cercle, qui passe par leurs deux points d'intersection S et S', et on a: OS.OS'=R2 (produit des mesures algébriques).

    4. Retour à Géométrie euclidienne.