Soit Q le point de contact du cercle exinscrit avec BC. On a: BP₁=BQ et CP₂=CQ. De même:
AP₁=AP₂ (la réflexion ayant pour axe la bissectrice échange P₁ et P₂ et conserve A).
Il en résulte: AP₁+AP₂=AB+BP₁+AC+CP₂=AB+AC+BC (Q appartient au segment BC).
Pour les alignements, utiliser le théorème de Ménélaüs (voir feuille à ce sujet).
Remarque: n'hésitez pas à jouer sur les couleurs (vous pouvez par exemple ne faire apparaître que les bissectrices extérieures et les cercles exinscrits: cherchez comment) et à zoomer ou déplacer la figure si cela vous arrange.