Les points P et Q sont sur le cercle de diamètre AB; on en déduit:
(PA,PQ)=(BA,BQ).
De même, les points P et R étant sur le cercle de diamètre AC, on a:
(PR,PA)=(CR,CA).
Mais:
(CR,CA)=(CR,AB)+(AB,CA)
et:
(BA,BQ)=(BA,AC)+(AC,BQ)
et ces angles sont égaux, puisque (CR,AB)=(AC,BQ) (angles droits).
Remarque: toutes ces égalités sont des égalités d'angles orientés de droites. Il en résulte bien que les hauteurs sont des bissectrices du triangle PQR; mais ces bissectrices peuvent être intérieures (si tous les angles du triangle ABC sont aigus) ou extérieures (comme on le voit en modifiant la figure).