Autre démonstration:
On a envie de dire que les triangles MAB' et MBA'
sont semblables, puisque leurs angles sont égaux (les points A, A', B, B'
sont cocycliques...). Il en résulte que MA/MB'=MB/MA', ce qui donne presque la relation
cherchée. Il ne resterait alors qu'à remarquer que les signes des produits scalaires sont les
mêmes (positif si
M est extérieur au cercle, négatif sinon). Cette démonstration marche encore dans le cas limite
où l'une des
droites est tangente au cercle. Le problème est de justifier précisément l'égalité des angles: en effet la condition de
cocyclicité s'exprime en termes d'angles orientés de droites, pas d'angles
géométriques. On n'est donc pas sûr d'avoir des angles géométriques égaux (ce qui poserait d'ailleurs le
problème de distinguer entre eux les points A et A'...). Cette égalité peut se justifier, mais il semble
préférable d'éviter ce genre de questions le jour de l'oral: mieux vaut donc s'en tenir
à la première démonstration, moins intuitive, mais sans danger.
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