Soit O' le centre du cercle circonscrit au triangle A'B'C'. L'homothétie de centre G et de rapport -1/2 transforme le triangle ABC en le triangle A'B'C'. Elle transforme donc le cercle circonscrit au triangle ABC en le cercle circonscrit au triangle A'B'C'. En particulier le centre O' de ce dernier cercle est l'image de O par cette homothétie, ce qui montre que GO=-2GO'.
Un calcul élémentaire montre alors que HO=2HO'.
L'homothétie de centre H et de rapport 1/2 transforme donc le cercle circonscrit à ABC en le cercle circonscrit à A'B'C'. Ce cercle passe donc par les milieux A", B" C" des segments HA, HB et HC.
On sait aussi que les symétriques de H par rapport aux côtés du triangle ABC appartiennent au cercle circonscrit à ce triangle. On en déduit que les pieds des hauteurs appartiennent au cercle circonscrit à A'B'C' (cercle des neuf points du triangle ABC).
Complément: le théorème de Feuerbach