Cercles d'Apollonius d'un triangle:

Soit ABC un triangle non isocèle. On désigne par A', B', C' les pieds des bissectrices intérieures et par A", B", C" les pieds des bissectrices extérieures.

1. Montrer que les cercles de diamètres A'A", B'B" et C'C" ont deux points communs S et S' (indication: on interprétera ces cercles comme lieux des points M tels que le rapport MB/MC,... soit constant).
2. Montrer que ces trois cercles sont orthogonaux au cercle circonscrit au triangle (voir la construction des lieux précédents, ou le poly sur les faisceaux de cercles orthogonaux).
3. Montrer que le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC appartient à la droite SS' et que OS.OS' (produit des valeurs algébriques) est égal à R² (où R est le rayon du cercle circonscrit) (indication: interpréter l'orthogonalité en termes de puissance).